2.1
TECNICAS DE CONTEO
En el enfoque clásico, el valor de
probabilidad se basa en la razón del número de resultados igualmente probables
favorables respecto del número total de resultados en el espacio muestral.
Cuando los problemas son simples, el número de resultados pueden contarse directamente.
Sin embargo, en problemas más complejos es necesario usar técnicas de conteo
para determinar el número de resultados posibles.
Ejemplo:
Definir el espacio muestral de lanzar 4 dados
Principio Fundamental del conteo:
Si un evento puede realizarse en n1 formas
diferentes y si por cada una de éstas una segunda operación puede llevarse a
cabo de n2 formas diferentes, una tercera de n3 formas, y así sucesivamente,
entonces el número de maneras que se puede realizarse el experimento en el
orden indicado es:
Se les denomina técnicas de conteo a: las
combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se
explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un
evento determinado.
Las bases para entender
el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo,
los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.
Flórez, Á. J. (Junio de 2012). univalle.edu.co.
Obtenido de univalle.edu.co:
https://campusvirtual.univalle.edu.co/moodle/pluginfile.php/368363/mod_resource/content/0/Clases/Permutaciones_y_combinaciones.pdf
2.1.1 PRINCIPIO ADITIVO
Dado que la probabilidad se
refiere a la potencialidad de ocurrencia de un evento, el principio aditivo se
refiere a las formas que ese evento puede ser realizado. Por ejemplo, una
persona que define viajar desde Santiago al Litoral Central puede hacerlo por
Línea de Buses A, Línea de Buses B, Línea de Buses C, Línea de Buses D. El
principio aditivo, sería que cada línea de buses representa una alternativa:
L A= 1 ; L B = 1 ; L C = 1 ;
L D = 1, (significa que cada línea de buses tiene una línea disponible al
litoral central)
En el principio Aditivo
sería, que la forma de llegar al punto L sería:
L = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
La clave en el principio
aditivo es buscar intrínsecamente la “0”, en el ejemplo, la persona para
dirigirse al litoral central no puede utilizar todas las alternativas, tiene
que utilizar una “o” la otra. Cuando se use el “o”, entonces hay que utilizar
el principio aditivo.
Se utiliza el principio aditivo si un número
se obtiene sumando el valor de los símbolos que lo componen.
Ejemplo: En la numeración maya se sigue
el principio aditivo porque para saber el valor del número, se suman los
valores de los signos como puedes ver en la siguiente imagen.
El
principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente
se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de cómo se
puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
Escolares.net. (s.f.). Obtenido de Escolares.net:
http://www.escolares.net/matematicas/probabilidades-principio-aditivo-y-multiplicativo/
Matematicas para ti. (s.f.). Obtenido de Matematicas para ti:
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/principio-aditivo/
2.1.2
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
El
principio multiplicativo consiste en que, si existen distintas formas de que un
evento suceda, y a su vez estas distintas formas tienen subformas de
realizarse, se utiliza la multiplicación: se utiliza la cantidad de formas, por
la cantidad de sub formas.
Por ejemplo, en el caso anterior, dado que existen cuatro líneas de buses, suponiendo que la línea A tenga cinco buses, la línea B tenga cuatro buses, la línea C tenga dos buses y la línea D tenga ocho buses, entonces la forma de llegar a L, aplicando el principio multiplicativo, sería:
Por ejemplo, en el caso anterior, dado que existen cuatro líneas de buses, suponiendo que la línea A tenga cinco buses, la línea B tenga cuatro buses, la línea C tenga dos buses y la línea D tenga ocho buses, entonces la forma de llegar a L, aplicando el principio multiplicativo, sería:
L
= 1 x 5 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 8
Se
utiliza el principio multiplicativo si un número se obtiene multiplicando
el valor de los símbolos que lo componen.
Ejemplo:
En la numeración romana al escribir CMXXIV (924) con una línea
horizontal en la parte superior, se sigue el principio
multiplicativo y este número representa al 924,000, ya que en la numeración
romana cualquier símbolo con una rayita horizontal en la parte superior, indica
el número es multiplicado por 1000. En la siguiente imagen vemos escrito el
número 924, 587 (novecientos veinticuatro mil, quinientos ochenta y siete).
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la
actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
Escolares.net. (s.f.). Obtenido de Escolares.net:
http://www.escolares.net/matematicas/probabilidades-principio-aditivo-y-multiplicativo/
Matematicas para ti. (s.f.). Obtenido de Matematicas para ti:
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/principio-aditivo/
Vargas, J. R. (Junio de 2010). wordpress.com.
Obtenido de wordpress.com: https://jrvargas.files.wordpress.com/2010/07/principio-multiplicativo.pdf
2.1.3
NOTACION FACTORIAL
La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que
descienden. Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero
sobre todo en combinaciones
y permutaciones
Ejemplos:
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
- 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
- 1! = 1
Así que la regla es:
·
n! = n ×
(n-1)!
lo que significa "el factorial de cualquier
número es: el número por el factorial
de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125!
= 125 × 124!
El factorial de cero es interesante... se suele
estar de acuerdo en que 0! = 1. Parece raro que no multiplicar ningún número
dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.
Disfruta las matematicas. (2011). Obtenido de Disfruta las matematicas:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html
2.1.4 PERMUTACIONES
Es todo
arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada
uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
En forma
general una permutación es una secuencia ordenada de r
objetos
tomados de un conjunto de n objetos distintos.
Los
arreglos son sin reemplazo o sin repetición cuando después de tomar un
elemento, éste no se puede tomar de nuevo. Es decir, si se tiene un conjunto
A1 = {a1,
a2,..., an} con n elementos diferentes y se realiza una extracción, ésta se podrá
hacer de n maneras diferentes. Sea el elemento tomado a3, éste ya no se regresa
al conjunto teniendo un conjunto A2 = {a1, a2, a4,a5,..., an} con
n– 1
elementos diferentes, de forma tal que cuando se realice una segunda extracción
será de n – 1 maneras.
El número
de permutaciones diferentes de n objetos de los cuales n1
son de un
tipo, n2 de otro tipo, . . . , nk de un k-ésimo tipo, es:
Permutaciones
con elementos iguales:
Para los
casos en que se quieren formar arreglos con todos los elementos de un conjunto,
entre los cuales existen algunos que son iguales, se tiene que, de forma general, cuando existen n1 elementos iguales,
n2 elementos iguales,... y nm elementos iguales, tales que n1 + n2 + ... + nm =
n, resulta la cantidad total de ordenamientos diferentes considerando todos los
n elementos por ordenamiento.
Flórez, Á. J. (Junio de 2012). univalle.edu.co.
Obtenido de univalle.edu.co:
https://campusvirtual.univalle.edu.co/moodle/pluginfile.php/368363/mod_resource/content/0/Clases/Permutaciones_y_combinaciones.pdf
intelabs.com.
(s.f.). Obtenido de intelabs.com:
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13178w/Estad%20y%20Prob_5a_03.pdf
Vargas, J. R. (Junio de 2010). wordpress.com.
Obtenido de wordpress.com:
https://jrvargas.files.wordpress.com/2010/07/principio-multiplicativo.pdf
2.1.5 COMBINACIONES
Dado un
conjunto de n objetivos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k
de los objetos se llama combinación. En las combinaciones el orden de aparición
de los objetos es irrelevante.
Como Ckn representa
la cantidad de subconjuntos no ordenados que constan de representa la cantidad
de subconjuntos no ordenados que constan de k
elementos tomados de un total de n, se tiene que
en cada una de esas combinaciones se pueden formar k! arreglos diferentes. Por
tanto, si Ckn representa la cantidad total de subconjuntos no ordenados
formados de k elementos diferentes, k! Ckn representa la cantidad de arreglos
diferentes de k elementos tomados de un total n. Como se analizó en la sección
3.3.2, esta cantidad es igual a Pkn, de donde se deduce.
Una
diferencia fundamental entre las permutaciones y las combinaciones consiste en
que en el orden de los elementos de los grupos escogidos en las combinaciones
no importan, sólo se considera la cantidad de elementos en el grupo, mientras
que en las permutaciones el orden entre sus elementos es fundamental.
Flórez, Á. J. (Junio de 2012). univalle.edu.co.
Obtenido de univalle.edu.co:
https://campusvirtual.univalle.edu.co/moodle/pluginfile.php/368363/mod_resource/content/0/Clases/Permutaciones_y_combinaciones.pdf
intelabs.com.
(s.f.). Obtenido de intelabs.com:
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13178w/Estad%20y%20Prob_5a_03.pdf
2.1.6 Diagrama De Árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los
resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas
probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número
finito de maneras de ser llevado a cabo.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá
poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual
parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el
nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de
probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar"
cualquier tipo de agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o
combinaciones.
Esta herramienta está fundamentada en el cálculo de probabilidades
condicionadas, esto quiere decir que ocurra un evento A, sabiendo que
también sucede otro evento B. Un eventos dependiente se define de la
siguiente forma. Se dice que un evento A es dependiente de otro B
si para que ocurra A es necesario que ocurra el evento B.
Un instrumento útil dentro de la probabilidad condicional son las
representaciones que nos permiten analizar la problemática de los eventos
cuando estos ocurren uno después del otro. Concretamente estamos hablando de
los diagramas de árbol. Este está constituido de varias ramas, cada rama
parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. En el esquema
que se presenta a continuación se observa que la rama principal está
constituida de evento con diferentes posibilidades como son: A1,
A2, A3...An la siguiente rama consta de eventos distintos, por
ejemplo, B1, B2, B3...Bn que se realizan después de
ocurrir A1 , así de manera sucesiva pueden ocurrir eventos después
de cualquiera de ellos. Otro ejemplo es el que se muestra, ocurren
después del evento An ocurriendo los eventos C1,C2,C3...Cn .
También observamos que cada evento forma un universo para cada evento por lo
que cada rama, de acuerdo con el axioma de normalizabilidad, tendrá que
ser igual a uno.
vitutor.com. (2014).
Obtenido de vitutor.com: http://www.vitutor.com/pro/2/a_15.html
2.1.7 TEOREMA DEL BINOMIO
El
teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima
potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a+b)n
posee
singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee
diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
Si a este
binomio se le multiplica sucesivamente por sí mismo se obtienen las siguientes
potencias:
• El desarrollo de (a+b) ^ n
tiene n+1 términos.
• Las potencias de a
empiezan en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en
el último.
• Las potencias de b
empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con
cada término, hasta n en el último.
• Para cada término la suma de los
exponentes de a y b es n.
• El coeficiente del primer término
es uno y el del segundo es n.
• El coeficiente de un término
cualquiera es igual al producto del coeficiente del termino anterior por el
exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese
término.
• Los términos que equidistan de
los extremos tienen coeficientes iguales.
Espinosa, r.
J. (2012). Matematica Basicas.
Obtenido de Matematica Basicas:
http://132.248.164.227/publicaciones/docs/apuntes_matematicas/38.%20Teorema%20del%20Binomio.pdf
2.2 TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD
El
Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se
denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del
resultado, esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay
más de uno posible.
Son
ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar un dado cinco veces, los instantes
de llegadas a un abarrote, etc.
El
término de probabilidad es de uso común, así el ente televisivo, el cual nos
dirá que es poco probable un cambio brusco de temperatura ó un periódico
informará que es muy probable que el Real Madrid gane en su campo a Las Palmas.
Este tipo
de información es insuficiente cuando se necesita un conocimiento más profundo
de un fenómeno aleatorio, Supongamos que una compañía de seguros va a extender
una póliza por seguro de vida a un cliente.
Este es
el objetivo del Cálculo de Probabilidades, medir probabilidades relacionadas
con cierto fenómeno aleatorio dado. Medir significa asignar a cada probabilidad
un número determinado, esto nos permitiría obtener un conocimiento más preciso
del fenómeno.
Concepto
Clásico De Probabilidad:
También
conocido como probabilidad a priori. “Si para un evento A
hay n resultados igualmente probables, de las cuales f son
del tipo que nos interesa, la probabilidad de que ocurra un resultado de este
tipo es:
P(a)=f / n
Como
frecuencia relativa: 1 probabilística; se basa en las frecuencias relativas. La
probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en
que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. La
probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:
P (E)
número de veces que el evento ocurrió en el pasado
Número total de observaciones
Definición
Frecuencial.
La
definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite
cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso.
Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E Sea A cualquier suceso
perteneciente a E Si repetimos n veces el experimento en las mismas
Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de
repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor
que llamaremos probabilidad del suceso A. Es imposible llegar a este límite, ya
que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si
podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas
tienden a estabilizarse Esta definición frecuentista de la probabilidad se
llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad
de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el
experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman
probabilidades teóricas.
Ramon, I. J.
(s.f.). www.EstadisticaFacil.com.
Obtenido de www.EstadisticaFacil.com:
http://www.mitecnologico.com/Main/TeoriaElementalProbabilidad
2.3 PROBABILIDAD DE EVENTOS
Al conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento estadístico se le llama espacio muestral y se representa con
el símbolo S.
A cada resultado en un espacio
muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o
simplemente punto muestral. Si
el espacio muestral tiene un numero finito de elementos, podemos listar los
miembros separados por comas y encerrarlos entre llaves.
Evento:
Un evento simple no se
puede descomponer. Cada evento simple corresponde a un y sólo un punto
muestral. La letra E con un subíndice se empleará para denotar un
evento simple o el correspondiente punto muestral.
Union:
La unión de dos eventos A y B, que se
denota con el simbolo A ∪ B, es el
evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.
Interseccion:
La intersección
de dos
eventos A y B, que se denota con el símbolo A ∩ B, es el evento que contiene todos los elementos que
son comunes a A y a B.
Diagrama de Venn:
Un universo u puede
representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un
rectángulo. En tal caso los subconjuntos de U (como A y B indicados y
sombreados en la se representan por conjuntos de puntos dentro de
los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de Venn, sirven para
darnos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre
conjuntos.
(RONALD E. WALPOLE,
RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad y
estadística para ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN
2.4
PROBABILIDAD DE TECNICAS DE CONTEO: AXIOMAS Y TEOREMAS.
Primer axioma:
La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 £ p(A) ³ 1
Ejemplo:
La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5
Segundo Axioma:
Segundo Axioma:
La
probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.
p(d) = 1
Ejemplo:
La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es
"1".
Tercer Axioma:
Tercer Axioma:
Si A y B
son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,
p(AÈB) = p(A) + p(B)
Ejemplo:
La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número
par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
Según
este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias
alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus
componentes.
Generalizando:
Si se tienen
n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2,
A3,.....An, entonces;
p(A1ÈA2È.........ÈAn)
= p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
TEOREMAS
TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la
probabilidad de que ocurra f debe ser cero.
p(f)=0
Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1
menos la probabilidad de que no sea varón".
DEMOSTRACIÓN:
Si
sumamos a fun evento
A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente
excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A)
+p(f)=p(A).
LQQD
TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac
debe ser,
p(Ac)= 1 – p(A).
DEMOSTRACIÓN:
Si el
espacio muestral d, se divide en dos eventos
mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) +
p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por
tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD
TEOREMA
3. Si un
evento A Ì B,
entonces la p(A) £ p(B).
DEMOSTRACIÓN:
Si
separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos
A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A),
luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B).
LQQD
TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)
DEMOSTRACIÓN:
Si A y B son dos eventos cualquiera,
entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A
\ B) y AÇB, por
tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB),
entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB). LQQD
TEOREMA
5. Para dos
eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).
DEMOSTRACIÓN:
Si AÈB = (A \
B) È B, donde
(A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A
\ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por
tanto, p(AÈB) = p(A)
+ p(B) – p(AÇB). LQQD
Jacobo,
L. (2013) Axiomas y Teoremas de Probabilidad. Recuperado de: http://probabilidadestadistic.blogspot.mx/2010/09/axiomas-y-teoremas-de-la-probabilidad.html
2.5 PROBABILIDAD CONDICIONAL; DEPENDIENTE,
INDEPENDIENTE.
Eventos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que A|B no es una fracción. P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A) Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A) Probabilidad Condicional Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: P(AlB) |
Eventos
Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:
(PnA)=P(A)P(B)
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:
(PnA)=P(A)P(B)
(RONALD E. WALPOLE,
RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad y
estadística para ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN
2.6 EVENTOS INDEPENDIENTES REGLA DE BAYES
En la teoría de la probabilidad
del teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes
en 1763 que expresa la condicional de un evento A dado B en términos de la
distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución
de sólo A. En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de
Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B
con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener
un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún
dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza,
muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para
la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la
comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Con base en la definición de Probabilidad obtenemos la Fórmula de Bayes,
también conocida como la Regla de Bayes:
